A、如图①：

∵AB∥CD，

∴∠BEF=∠CFE，

∵EM与FN分别是∠BEF与∠CFE的角平分线，

∴∠MEF=

1

2

∠BEF，∠NFE=

1

2

∠CFE，

∴∠NFE=∠MEF，

∴EM∥FN；

故本选项正确；

B、如图②：

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°，

∵EM与FM分别是∠BEF与∠DFE的角平分线，

∴∠MEF=

1

2

∠BEF，∠MFE=

1

2

∠DFE，

∴∠MEF+∠MFE=90°，

∴∠M=90°，

∴EM⊥FM；

故本选项错误；

C、如图④：

∵∠KEA=∠BEF，EM与EN分别是∠BEF与∠AEK的角平分线，

∴∠AEN=∠BEM，

∴∠NEK+∠BEK+∠BEM=∠AEN+∠NEK+∠BEK=180°，

∴M，E，N共线；

故本选项错误；

D、如图④：

∵FM与FN分别是∠EFD与∠EFC的角平分线，

∴∠EFN=

1

2

∠EFC，∠EFM=

1

2

∠EFD，

∴∠EFN+∠EFM=

1

2

（∠EFC+∠EFD）=90°，

∴∠MFN=90°，

∴NF⊥MF；

故本选项错误．

故选A．