若四条直线相互平行，则没有交点；

若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；

若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点；

若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；

若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个．

综上可知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三条平行线．

故答案是：三．