问题
问答题
设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界．
答案
参考答案：[证明] 设x0，x∈(a，b)，则f(x)在以x0，x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此
f(x)-f(x0)=f’(ξ)(x-x0)，ξ∈(x0，x)．
因为f’(x)在(a，b)内有界，即存在N＞0，使|f’(x)|＜N，x∈(a，b)，所以
|f(x)|=|f(x)-f(x0)+f(x0)|
≤|f(x)-f(x0)|+|f(x0)|
≤|f’(ξ)(b-a)|+|f(x0)|
≤N(b-a)+|f(x0)|=M．
根据有界的定义f(x)在(a，b)内有界．