问题 解答题

设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数m、n,总有f(m+n)=f(m)•f(n),且x>0时0<f(x)<1.

(1)证明:f(0)=1,且x<0时f(x)>1;

(2)证明:f(x)在R 上单调递减;

(3)设A={(x,y)|f(x2)•f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=∅,确定a 的范围.

答案

(1)证明:f(m+n)=f(m)•f(n),

令m>0,n=0,⇒f(m)=f(m)f(0)

已知x>0时0<f(x)<1.

⇒f(0)=1

设m=x<0,n=-x>0,f(-x)∈(0,1)

⇒f(0)=f(m+n)=f(m)f(n)=1⇒f(m)>1,即当x<0时f(x)>1 …(4分)

(2)∀x1<x2∈R,则x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,f(x1)>0⇒f(x2)-f(x1

=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0

∴f(x)在R 上单调递减.              …(10分)

(3)f(x2)f(y2)>f(1)⇒f(x2+y2)>f(1)

f(x)在R上单调递减

⇒x2+y2<1(单位圆内部分)

f(ax-y+2)=1=f(0)⇒ax-y+2=0(一条直线)

A∩B=φ⇒

2
a 2+1
≥1⇒a2≤3⇒a∈[-
3
3
]…(16分)

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