问题
解答题
设函数f（x）定义在R上，对于任意实数m、n，恒有f(m+n)=f(m)⋅f(n)，且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）设集合A={(x，y)|f(x2)⋅f(y2)＞f(1)}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．
答案
（1）令m=1，n=0，得f（1）=f（1）•f（0）
又当x＞0时，0＜f（x）＜1，所以f（0）=1
设x＜0，则-x＞0
令m=x，n=-x，则f（0）=f（x）•f（-x）
所以f（x）•f（-x）=1
又0＜f（-x）＜1，所以f（x）=
＞11 f(-x)
（2）设x1、x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0
所以0＜f（x2-x1）＜1，从而f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）•f（x1），
又由已知条件及（1）的结论知f（x）＞0恒成立
所以
=f（x2-x1），所以0＜f(x2) f(x1)
＜1，f(x2) f(x1)
所以f（x2）＜f（x1），故f（x）在R上是单调递减的．
由f（x2）•f（y2）＞f（1）得：f（x2+y2）＞f（1），
因为f（x）在R上单调递减，所以x2+y2＜1，即A表示圆x2+y2=1的内部，
由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0
所以B表示直线ax-y+2=0，
所以A∩B=∅，所以直线与圆相切或相离，即
≥12 1+a2
解得：-
≤a≤3
．3