问题
解答题
已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0}和B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},A∩B≠∅,求实数m的
取值范围.
答案
由x2+mx-y+2=0 x-y+1=0
得x2+(m-1)x+1=0,①
∵A∩B≠∅,
∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解,
首先,由△=(m-1)2-4≥0,
解得:m≥3或m≤-1.
设方程①的两个根为x1、x2,
(1)当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0
及x1•x2=1>0知x1、x2都是负数,不合题意;
(2)当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0
及x1•x2=1>0知x1、x2是互为倒数的两个正数,
故x1、x2必有一个在区间[0,1]内,
从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,-1].