原方程可化为2x²-3x-（k+3）=0，①

（1）当△=0时，k=-

33

8

，x1=x2=

3

4

满足条件；

（2）若x=1是方程①的根，得2×1²-3×1-（k+3）=0，k=-4；

此时方程①的另一个根为

1

2

，故原方程也只有一根x=

1

2

；

（3）当方程①有异号实根时，x1x2=

-k-3

2

＜0，得k＞-3，此时原方程也只有一个正实数根；

（4）当方程①有一个根为0时，k=-3，另一个根为x=

3

2

，此时原方程也只有一个正实根．

综上所述，满足条件的k的取值范围是k=-

33

8

或k=-4或k≥-3．