方程两边都乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）²+（x-1）²+2x+a+2=0，

整理得，2x²+2x+a+4=0，①

△=b²-4ac=2²-4×2×（a+4）=-8a-28，

（1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，

即-8a-28=0，

解得a₁=-

7

2

，

此时方程①有一个根x=-

1

2

，验证可知x=-

1

2

的确满足题中的等式，

（2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，

即-8a-28＞0，

解得a＜-

7

2

，

（i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，

解得a₂=-8，

此时方程①的另一个根x=-2，它的确也满足题中的等式；

（ii）若x=-1是方程①的根，则原方程有增根x=-1，代入①得，2-2+a+4=0，

解得a₃=-4，

此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；

因此a₁=-

7

2

，a₂=-8，a₃=-4即为所求，

a₁+a₂+a₃=-

7

2

-8-4=-

31

2

．

故答案为：-

31

2

．