设奇数为（2n+1）（n≥0，n为整数），则（2n+1）²=4n²+4n+1，

只要证得8能整除（4n²+4n）即可，

显然4能整除（4n²+4n），而n²与n奇偶性相同，所以2能整除（n²+n），

因此8能整除（4n²+4n），所以可以得出（4n²+4n+1）被8除余1，

即奇数的平方被8除余1．

（2）由（1）可知10个奇数的平方之和被8除余数为2，

2006除以8余数为6，两数被8除余数不同，

也就证明2006不能表示为10个奇数的平方之和．