问题 解答题

已知正整数m,n都是质数,并且7m+n,mn+11也是质数,试求(mnn+(nmm的值.

答案

∵mn+11为质数,且mn+11>11,

∴mn+11为奇质数,

故mn为偶数,又m,n为质数,所以m,n中至少有一个为2.(5分)

(1)当m=n=2时,mn+11=15不为质数,矛盾.(10分)

(2)当m=2,n≠2时,由n+14,2n+11均为质数可知n=3,

否则,当n=3k+1(k为正整数)时,n+14=3k+15=3(k+5)为合数,矛盾;

当n=3k+2时,2n+11=6k+15=3(2k+5)为合数,矛盾;

故n=3,此时,mn+11=17,7m+n=17均为质数,符合题意.(15分)

(3)当n=2时,mn+11=2m+11,7m+n=7m+2,它们均为质数,此时必有m=3,

否则令m=3k+1,mn+11=6k+12=6(k+2)为合数,矛盾;

令m=3k+2,7m+n=21k+9=3(7k+3)为合数,矛盾;

故m=3.(20分)

所以(m,n)=(2,3),(3,2).

所以(mnn+(nmm=593.(25分)

故答案为:593.

单项选择题
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