问题 解答题

已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程x2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q).

答案

根据一元二次方程根与系数的关系可得:x1+x2=8p-10q,

x1•x2=5pq,

质数都是正整数.所以5pq肯定是正整数,

有一根是正整数,x1x2肯定都是正整数,

可以知道有几种可能,

x1=5 x2=pq;x1=5p x2=q;x1=5q x2=p;x1=1,x2=5pq;

将x1,x2代入 x1+x2=8p-10q,

5+pq=8p-10q,(1)

p(q-8)+10(q-8)+80+5=0,

(q-8)(p+10)=-85=-5×17=-1×85,

q=3,p=7,或q=7,p=75(舍去),

5p+q=8p-10q,11q=3p,(2)

p=11,q=3,

5q+p=8p-10q,15q=7p,(3)

p=15,q=7(舍去),

5pq+1=8p-10q,(4)

5q(p+2)-8(p+2)+16+1=0,

(p+2)(5q-8)=-17,

p=15,q=

7
5
(舍去),p=-1,q=-
9
5
(舍去),q=
9
5
,p=-19(舍去),q=5,p=-3(舍去),

最后p=11,q=3,

或p=7,q=3.

故存在两对质数(11,3)和(7,3).

单项选择题
单项选择题