问题
解答题
已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
答案
假设存在，令另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数．
由勾股定理得p2+x2=y2．
化为（y+x）（y-x）=p2．
因为p为素数（也称质数），且y+x＞y-x，
所以只有y+x=p2 y-x=1.
从而x=
，y=p2-1 2
．p2+1 2
若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；
若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．
综上所述，可知：p为偶素数2时，满足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且另一条直角边长为
．p2-1 2