把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a1，b1;a2，b2;…;a

问题填空题

把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a₁，b₁;a₂，b₂;…;a_{1 004}，b_{1 004}，且满足a₁+b₁=a₂+b₂=…=a₁₀₀₄+b₁₀₀₄.对于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a_ib_i的最大值为 .

答案

1 009 020

解：

注意到a_ib_i=[(a_i+b_i)²-(a_i-b_i)²]，

a_i+b_i="(1+2" 008)×1 004/1 004="2" 009.

要使a_ib_i的值最大，须a_i-b_i的值最小，而a_i-b_i的最小值为1，此时a_i+b_i="2" 009，a_i-b_i=1.于是，a_i="1" 005，b_i="1" 004，此时，a_ib_i的最大值为1 005×1 004="1" 009 020.