问题
解答题
抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
答案
如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=-x+
p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．1 2
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x1+
+x2+p 2
，（4分）p 2
即x1+
+x2+p 2
=8．①p 2
又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，
由
消去y，得x2-3px+y=-x+
p1 2 y2=2px
=0，p2 4
∵△=9p2-4×
=8p2＞0．p2 4
∴x1+x2=3p．
将其代入①得p=2，
∴所求抛物线方程为y2=4x．
当抛物线方程设为y2=-2px（p＞0）时，
同理可求得抛物线方程为y2=-4x．
故所求抛物线方程为y2=4x或y2=-4x．（8分）
