当直线无斜率时，方程为x=0，代入y²-4x²=16，可解得y=±4，故直线与曲线有2个公共点，不合题意；

当直线斜率存在时，设方程为y=kx+4，代入双曲线方程化简得（k²-4）x²+8kx=0

要使直线与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，

∴k²-4=0，或k²-4≠0且△=0，解得k=±2，或k=0

故有3条直线与双曲线y²-4x²=16有且只有一个公共点．

故答案为：3