已知抛物线y2=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交

问题解答题

已知抛物线y²=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点．

（Ⅰ）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；

（Ⅱ）求△ANB面积的最小值；

（Ⅲ）当点M的坐标为（m，0）（m＞0，且m≠1）．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：

①直线NA，NB的斜率是否互为相反数？

②△ANB面积的最小值是多少？

答案

（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．

由

y=k(x-1)

y2=4x

可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2k2+4

，x1x2=1．

∴y₁y₂=-4∵N（-1，0）kNA+kNB=

x1+1

x2+1

4y1

4y2

4[y1(

+4)+y2(

+4)]

(

+4)(

+4)

4(-4y2+4y1-4y1+4y2)

(

+4)(

+4)

=0．

又当l垂直于x轴时，点A，B关于x轴，显然k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．

综上，k_NA+k_NB=0，k_NA=-k_NB．

（Ⅱ）S△NAB=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

4(x1+x2)+8

＞4．

当l垂直于x轴时，S_△NAB=4．

∴△ANB面积的最小值等于4．

（Ⅲ）推测：①k_NA=-k_NB；

②△ANB面积的最小值为4m

．