如图所示：

直线l₁：kx-2y-2k+8=0 即k（x-2）-2y+8=0，过定点B（2，4），

与y轴的交点C（0，4-k），

直线l：2x+k²y-4k²-4=0，即 2x-4+k² （y-4）=0，

过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2 k²+2，0），

由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，

故所求四边形的面积为

1

2

×4×（2 k²+2-2）+

2×(4-k+4)

2

=4k²-k+8，

∴k=

1

8

时，所求四边形的面积最小，

故答案为

1

8

．