问题
解答题
通过点A（0，a）的直线y=kx+a与圆（x-2）2+y2=1相交于不同的两点B、C，在线段BC上取一点P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，设点B在点C的左边，
（1）试用a和k表示P点的坐标；
（2）求k变化时P点的轨迹；
（3）证明不论a取何值时，上述轨迹恒过圆内的一定点．
答案
（1）设B（x1，y1），c（x2，y2），P（x，y），
依题意知，
=|BP| |PC|
，x-x1 x2-x
=|AB| |AC|
，x1 x2
∴
=x-x1 x2-x
，∴x=x1 x2
…（4分）2x1x2 x1+x2
由直线方程代入圆方程，整理得，（1+k2）x2+（2ak-4）x+（a2+3）=0
由x1+x2=
，x1x2=4-2ak 1+k2
代入x=a2+3 1+k2 2x1x2 x1+x2
得x=
，y=ka2+3 2-ak
+a=a2+3 2-ak
…（6分）3k+2a 2-ak
（2）由x，y的表达式中消去k得2x-ay-3=0，
∴点P的轨迹是直线2x-ay-3=0在圆内的部分．…（8分）
（3）证明：直线2x-ay-3=0恒过定点M（
，0），点M到圆心C（2，0）的距离|MC|=3 2
＜r=1，1 2
∴该点在圆内
∴P点的轨迹恒过圆内的一定点 …（10分）