问题
解答题
已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圆C：（x-1）2+（y-2）2=25．
（1）判断直线l和圆C的位置关系；
（2）若直线l和圆C相交，求相交弦长最小时m的值．
答案
（1）∵直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
∴化简得m（2x+y-7）+x+y-4=0，
因此，直线l经过直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点M（3，1）
又∵（3-1）2+（1-2）2＜25，
∴点E（3，1）在圆C的内部，可得直线l和圆C相交；
（2）假设直线l和圆C相交于点E，F，由相交弦长公式|EF|=2
，25-d2
其中d为圆心C到直线l的距离，
根据垂径定理，当d最大时相交弦长最小，而由（1）知，
直线l过定点M（3，1），所以dmax=|CE|=
，5
即CE⊥l，根据CE的斜率kCE=
=-2-1 1-3
，1 2
可得相交弦长最小时，l的斜率kl=-
=2，解之得m=-2m+1 m+1
．3 4