问题
解答题
已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证：b⊥（a+tb）．
答案
（1）设
与a
的夹角为θ，b
∵|
+ta
|2=（b
+ta
）2=|b
|2+t2|a
|2+2b
•（ta
）=|b
|2+t2|a
|2+2t|b
||a
|cosθb
=|
|2（t+b
cosθ）2+||
|a |
|b
|2sin2θ，a
∴当t=-
cosθ=-|
|a |
|b
=-|a||b|cosθ |b|2
时，|
•a b |
|2b
+ta
|有最小值．b
（2）证明：∵
•（b
+ta
）=b
•（b
-a
•a•b |b|2
）=b
•a
-b
•a
=0，b
∴
⊥（b
+ta
）．b