问题
问答题
设A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．
证明向量组β，Aβ，A2β线性无关．
答案
参考答案：证法一 用线性无关的定义证．
假设有数k1，k2，k3使得 k1β+k2Aβ+k3A2β=0．
由 β=ξ1+ξ2+ξ3及Aξ1=λiξi，i=1，2，3．代入得
[*]
整理得 [*]．
因ξ1，ξ2，ξ3线性无关，上式成立当且仅当
[*] (*)
又λi，i=1，2，3互不相同，故方程组(*)的系数行列式
[*]
故方程组(*)仅有零解，即k1=k2=k3=0，所以β，Aβ，A2β线性无关．
证法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因
[*]
[*]
[*]所以C是可逆阵．
故 r[β1，Aβ，A2β]=r(考-，善z，考s)一3．因此，β，Aβ，A2β线性无关．
