问题
解答题
| 设复数z1，z2满足z1z2+2i z1-2i z2+1=0． （Ⅰ）若z1，z2满足
（Ⅱ）若|z1|=
|
答案
（Ⅰ）由
=z1+2i，两边同时取共轭复数可得：z2=. z2
-2i．. z1
代入已知方程得：z1（
-2i）+2iz1-2i（. z1
-2i）+1=0．. z1
即|z1|2-2i
-3=0．令z1=a+bi，. z1
即可得到a2+b2-2i（a-bi）-3=0．
即（a2+b2-2b-3）-2ai=0．
解得a=0，b=3，或a=0，b=-1．
∴z1=3i，z2=-5i，或z1=-i，z2=-i．
（Ⅱ）由已知得z1=
．又∵|z1|=2iz2-1 z2+2i
，3
∴|
|=2iz2-1 z2+2i
．3
∴|2iz2-1|2=3|z2+2i|2．
∴（2iz2-1）（-2i
-1）=3（z2+2i）（. z2
-2i）．. z2
整理得：z2
+4iz2-4i. z2
-11=0．. z2
即（z2-4i）（
+4i）=27．. z2
∴|z2-4i|2=27，
即|z2-4i|=3
．3
∴存在常数k=3
，使得等式|z2-4i|=k恒成立．3
