问题 填空题

已知正△ABC的顶点A在平面α内,顶点B,C在平面α的同一侧,D为BC的中点,若△ABC在平面α内的射影是以A为直角顶点的三角形,则直线AD与平面α所成角的正弦值的最小值为______.

答案

如图所示,不妨设AB=2.则AD=

3

假设一开始正△ABC在平面α内时的位置,则∠BAC=60°.

而当BCα时,其B、D、C三点的射影分别为B1,D1,C1时,且∠B1AC1=90°.

∠DAD1为直线AD与平面α所成角且最小.

AD1=

1
2
B1C1=
1
2
BC=1,∴DD1=
AD2-A
D21
=
2

此时sin∠DAD1=

DD1
AD
=
2
3
=
6
3

当BC与平面α部平行时,可以看出:其DD1长度必然增大.

因此直线AD与平面α所成角的正弦值的最小值为

6
3

故答案为

6
3

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