问题
解答题
已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1．
答案
证明：充分性：当q=-1时，a1=S1=p+q=p-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）．
当n=1时也成立．
于是
=an+1 an
=p（n∈N+），pn(p-1) pn-1(p-1)
即数列{an}为等比数列．
必要性：当n=1时，a1=S1=p+q．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）．
∵p≠0，p≠1．
∴
=an+1 an
=p．pn(p-1) pn-1(p-1)
∵{an}为等比数列，
∴
=a2 a1
=p，an+1 an
=p，p(p-1) p+q
即p-1=p+q．∴q=-1．
综上所述，q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件．