问题 解答题

设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.

答案

证明:不妨设a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2

由排序原理:顺序和≥反序和,得:

a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a

三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).

又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.

所以2(a3+b3+c3)≥6abc,

∴a3+b3+c3≥3abc.

当且仅当a=b=c时,等号成立.

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