问题
解答题
设a,b,c为正数,利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.
答案
证明:不妨设a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2,
由排序原理:顺序和≥反序和,得:
a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a
三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).
又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
所以2(a3+b3+c3)≥6abc,
∴a3+b3+c3≥3abc.
当且仅当a=b=c时,等号成立.