问题
问答题
设A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．
证明β不是A的特征向量；
答案
参考答案：已知Aβ=A(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3．
若β是A的特征向量，假设对应的特征值为μ，则有
Aβ=μβ=μ(ξ1+ξ2+ξ3)=λ1ξ1+λ2ξ2+λ3ξ3，
从而得(μ-λ1)ξ1+(μ-λ2)ξ2+(μ-λ3)ξ3=0．
ξ1，ξ2，ξ3是不同特征值对应的特征向量，由定理知ξ1，ξ2，ξ3线性无关，从而得λ1=
λ2=λ3=μ，这和λ1，λ2，λ3互不相同矛盾．故β=ξ1+ξ2+ξ3不是A的特征向量．