问题
解答题
已知曲线C：y=x3-3x2，直线l：y=-2x
（1）求曲线C与直线l围成的区域的面积；
（2）求曲线y=x3-3x2（0≤x≤1）与直线l围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积．
答案
（1）联立y=x3-3x2与y=-2x得：x=0，1或2．
∴曲线C与直线l有三个交点．
y'=3x2-6x令y′=0得：x=0或x=2
∵当x∈（-∞，0）∪（2，+∞）时，
y′＞0，当x∈（0，2）时，y'＜0，
∴曲线C大致形状如图所示．
∴S=∫
[x3-3x2-(-2x)]dx+∫1 0
(-2x-x3+3x2)dx=2 1 1 2
（2）由题意，旋转体的体积V=∫
π[(-2x)2-(x3-3x2)2]dx=1 0
π41 105
