问题
解答题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若f（x）=sinx+cosx，求f（A）的最大值．
答案
（Ⅰ）（法1）因为asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．…（3分）
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
所以sin（C+B）=sinAsinB．…（4分）
因为在△ABC中，A+B+C=π，
所以sinA=sinAsinB又sinA≠0，…（5分）
所以sinB=1，B=
．π 2
所以△ABC为B=
的直角三角形．…（6分）π 2
（法2）因为asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得asinB=b•
+c•a2+b2-c2 2ab
，…（4分）a2+c2-b2 2ac
所以asinB=a．
因为a≠0，所以sinB=1．…（5分）
所以在△ABC中，B=
．π 2
所以△ABC为B=
的直角三角形．…（6分）π 2
（Ⅱ）因为f(x)=sinx+cosx=
sin(x+2
)，…（8分）π 4
所以f(A)=
sin(A+2
)．…（9分）π 4
因为△ABC是B=
的直角三角形，π 2
所以0＜A＜
，…（10分）π 2
所以
＜A+π 4
＜π 4
，…（11分）3π 4
所以
＜sin(A+2 2
)≤1．…（12分）π 4
即f（A）的最大值为
．…（13分）2