问题
解答题
已知函数f（x）=ax-lnx
（I）当a=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）在[1，e]上的最大值与最小值．
答案
（I）当a=1时，f（x）=x-lnx（x＞0），
f′(x)=1-
=1 x
．x-1 x
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当x=1时f（x）取得极小值，也是最小值为f（1）=1．
（II）由f（x）=ax-lnx（x＞0）．
则f′(x)=a-
=1 x
．ax-1 x
由f′（x）＞0，得x＞
，由f′（x）＜0，得0＜x＜1 a
．1 a
所以f（x）在(0，
)上为减函数，在(1 a
，+∞)上为增函数．1 a
当0＜a≤
时，fmin=f（e）=ae-1，1 e
=f(1)=a．f max
当
＜a≤1 e
时，fmin=f(1 e-1
)=1+lna，1 a
=f(1)=a．f max
当
＜a＜1时，fmin=f(1 e-1
)=1+lna，1 a
=f(e)=ae-1．f max
当a≥1时，fmin=f（1）=a，
=f(e)=ae-1．f max
