问题
解答题
设a为正实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（0）≤-1，求a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（Ⅲ）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥1的解集．
答案
（Ⅰ）∵函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，
∴若f（0）≤-1，则-a|a|≤-1，
∴a2≥1，
解得a≥1，
故a的取值范围是[1，+∞）．…（2分）
（Ⅱ）当x≥a时，f（x）=3x2-2ax+a2，
∵对称轴x=
，a 3
∴f(x)min=f(a)=2a2，…（4分）
当x＜a时，f（x）=x2+2ax-a2，
∵对称轴x=-a，
∴f(x)min=f(-a)=-2a2，
综上：f(x)min=-2a2．…（6分）
（Ⅲ）x∈（a，+∞）时，f（x）≥1，
得3x2-2ax+a2-1≥0，
△=4a2-12（a2-1）=12-8a2，
当△≤0，即a≥
时，6 2
不等式的解为{x|x＞a}；…（8分）
当△＞0，即0＜a＜
时，6 2
得
，(x-
)(x-a- 3-2a2 3
)≥0a+ 3-2a2 3 x＞a
讨论：当a∈（
，2 2
）时，解集为（a，+∞）；…（10分）6 2
当a∈(0，
]时，解集为[2 2
，+∞）．…（11分）a+ 3-2a2 3
综上：当a＞
时，解集为{x|x＞a}；2 2
当a∈(0，
]时，解集为[2 2
，+∞）．（12分）a+ 3-2a2 3