（1）由题意可得，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴为x=-

b

2a

=1，

∴b=-2a，

f（x）=ax² -2ax．

再根据函数f（x）有且仅有一个不动点，可得ax² -2ax=x只有一个解，

故△=（2a+1）²-0=0，

∴a=-

1

2

，b=1

∴f（x）=-

1

2

x²+x

（2）∵函数g（x）=f（x）+kx²=（k-

1

2

）x²+x

当k-

1

2

=0，即k=

1

2

时，

g（x）=x在（0，4）上是增函数，满足要求；

当k-

1

2

＞0，即k＞

1

2

时，

若g（x）=x在（0，4）上是增函数，

则

1

1-2k

≤0，解得k＞

1

2

，

当k-

1

2

＜0，即k＜

1

2

时，

若g（x）=x在（0，4）上是增函数，

则

1

1-2k

≥4，解得

3

8

≤k＜

1

2

，

综上所述，实数k的取值范围为[

3

8

，+∞）

（3）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

∵f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]

∴3n≤

1

2

∴n≤

1

6

故m＜n≤

1

6

∴f（x）在区间[m，n]上为增函数

∴

f(m)=2m f(n)=3n

即

- 1 2 m2+m=3m - 1 2 n2+n=3n

即m，n为方程-

1

2

x²+x=3x的两根，

解-

1

2

x²+x=3x得x=-4，或x=0

故m=-4，n=0