问题
解答题
已知二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，且关于x的不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+bx，且当x∈[-1，2]时，函数F（x）的最小值为1，求实数b的值．
答案
（I）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（x）是偶函数知f（x）的图象关于y轴对称，
则-
=0，即b=0，故f（x）=ax2+c．…（1分）b 2a
∵不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}，
∴a＞0且x1=1，x2=3是方程f（x）-4x=0即ax2-4x+c=0的两根．
由韦达定理，得
，1+3= 4 a 1×3= c a
解得：a=1，c=3．…（5分）
∴f（x）=x2+3．…（6分）
（II）由（ I）知，F(x)=x2+bx+3=(x+
)2+3-b 2
，对称轴x=-b2 4
．…（7分）b 2
下面分类讨论：
①当-
≥2，即b≤-4时，F（x）在[-1，2]上为减函数，b 2
∴F（x）min=F（2）=2b+7=1，得b=-3（舍去）．…（9分）
②当-
∈(-1，2)，即-4＜b＜2时，F(x)min=F(-b 2
)=-b 2
+3=1，b2 4
∴b=-2
或b=22
（舍去）．…（11分）2
③当-
≤-1，即b≥2时，F（x）在[-1，2]上为增函数，b 2
∴F（x）min=F（-1）=4-b=1，得b=3．…（13分）
综上所述，b=-2
或b=3为所求．…（14分）2
