由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π）．

 t=

π

12

时，点P的坐标为P₁（

3

2

，-

1

2

）； 当t=

π

4

 时，点P的坐标为P₂（

3

2

，

1

2

），

向量

AP

所扫过的图形区域的面积是△AP₁P₂的面积与弓形的面积之和，

而△AP₁P₂的面积等于△OP₁P₂的面积（因为这两个三角形同底且等高），

故向量

AP

所扫过的图形区域的面积是扇形P₁OP₂的面积．

由于∠P₁OP₂=2×

π

6

=

π

3

，∴扇形P₁OP₂的面积为

等于

1

2

×

π

3

×12=

π

6

，

故答案为

π

6

．