问题
解答题
| 设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*都有Sn=2an-n， （1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3； （2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明； （3）求证：对任意n∈N*都有
|
答案
（1）令n=1得，S1=2a1-1=a1，故a1=1；
令n=2得，S2=2a2-2=a1+a2=1+a2，故a2=3；
令n=3得，S3=2a3-3=a1+a2+a3=1+3+a3，故a3=7；
（2）由（1）可以猜想an=2n-1，下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k时结论成立，即ak=2k-1，
从而由已知Sn=2an-n可得：Sk=2ak-k=2（2k-1）-k=2k+1-k-2．
故Sk+1=2k+2-k-3．
∴ak+1=Sk+1-Sk=（2k+2-k-3）-（2k+1-k-2）=2k+1-1．
即，当n=k+1时结论成立．
综合①②可知，猜想an=2n-1成立．即，数列{an}的通项为an=2n-1．
（3）∵an=2n-1，
∴an+1-an=（2n+1-1）-（2n-1）=2n，
∴
+1 a2-a1
+1 a3-a2
++1 a4-a3
=1 an+1-an
+1 2
+1 22
++1 23
=1-1 2n
＜1，1 2n
∴对任意n∈N*都有
+1 a2-a1
+1 a3-a2
++1 a4-a3
＜1．1 an+1-an