问题
解答题
已知数列{an}满足:a1=﹣5,a n+1=2an+3n+1,已知存在常数p,q使数列{an+pn+q}为等比数列.
(1)求常数p、q及{an}的通项公式;
(2)解方程an=0.
(3)求|a1|+|a2|+…+|an|.
答案
解:(1)由条件令,a n+1+p(n+1)+q=k(an+pn+q),
则:a n+1=kan+(kp﹣p)n+kq﹣q﹣p
故:
又a1+p+q=2∴,∴
(2)计算知a1=﹣5,a2=﹣6,a3=﹣5,a4=0,a5=13,
故猜测n≥5,an>0即2n>3n+4,下证.
(i)当n=5成立
(ii)假设n=k(k≥5)成立,即2k>3k+4那么2 k+1>2(3k+4)=6k+8>3k+7
故n=k+1成立.
由(i)、(ii)可知命题成立.
故an=0的解为n=4.
(3)由(2)可得,当n≤3时,
|a1|+|a2|+…+|an|=﹣(a1+a2+a3)+a4+a5+…+an=a1+a2+…+an﹣2(a1+a2+a3)
=