问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=﹣5，a n+1=2an+3n+1，已知存在常数p，q使数列{an+pn+q}为等比数列．
（1）求常数p、q及{an}的通项公式；
（2）解方程an=0．
（3）求|a1|+|a2|+…+|an|．
答案
解：（1）由条件令，a n+1+p（n+1）+q=k（an+pn+q），
则：a n+1=kan+（kp﹣p）n+kq﹣q﹣p
故：
又a1+p+q=2∴
，∴
（2）计算知a1=﹣5，a2=﹣6，a3=﹣5，a4=0，a5=13，
故猜测n≥5，an＞0即2n＞3n+4，下证．
（i）当n=5成立
（ii）假设n=k（k≥5）成立，即2k＞3k+4那么2 k+1＞2（3k+4）=6k+8＞3k+7
故n=k+1成立．
由（i）、（ii）可知命题成立．
故an=0的解为n=4．
（3）由（2）可得，当n≤3时，
|a1|+|a2|+…+|an|=﹣（a1+a2+a3）+a4+a5+…+an=a1+a2+…+an﹣2（a1+a2+a3）
=