用数学归纳法证明an+1+（a+1）2n-1能被a2+a+1整除（n∈N*）．

问题解答题

用数学归纳法证明aⁿ⁺¹+（a+1）^2n-1能被a²+a+1整除（n∈N^*）．

答案

（1）当n=1时，a²+（a+1）=a²+a+1可被a²+a+1整除

（2）假设n=k（k∈N^*）时，a^k+1+（a+1）^2k-1能被a²+a+1整除，则当n=k+1时，

a^k+2+（a+1）^2k+1=a•a^k+1+（a+1）²（a+1）^2k-1

=a[a^k+1+（a+1）^2k-1]+（a²+a+1）（a+1）^2k-1，

由假设可知a[a^k+1+（a+1）^2k-1]能被（a²+a+1）整除，

（a²+a+1）（a+1）^2k-1也能被（a²+a+1）整除

∴a^k+2+（a+1）^2k+1能被（a²+a+1）整除，即n=k+1时命题也成立，

∴对任意n∈N^*原命题成立．