问题 解答题
用数学归纳法证明:
对于一切n∈N*,都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=
n(n+1)(n+2)
3
答案

证明:(1)当n=1时,左边=12+1=2,右边=

1×2×3
3
=2,

所以当n=1时,命题成立;          …(2分)

(2)设n=k时,命题成立,

即有(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)=

k(k+1)(k+2)
3
…(4分)

则当n=k+1时,

左边=(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)+[(k+1)2+(k+1)]…(5分)

=

k(k+1)(k+2)
3
+[(k+1)2+(k+1)]

=

(k+1)[k(k+2)+3(k+1)+3]
3
…(8分)

=

(k+1)(k2+5k+6)
3

=

(k+1)(k+2)(k+3)
3

=

(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
3
…(10分)

所以当n=k+1时,命题成立.

综合(1)(2)得:对于一切n∈N*

都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=

n(n+1)(n+2)
3
…(12分)

单项选择题
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