问题
解答题
用数学归纳法证明: 对于一切n∈N*,都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=
|
答案
证明:(1)当n=1时,左边=12+1=2,右边=
=2,1×2×3 3
所以当n=1时,命题成立; …(2分)
(2)设n=k时,命题成立,
即有(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)=
…(4分)k(k+1)(k+2) 3
则当n=k+1时,
左边=(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)+[(k+1)2+(k+1)]…(5分)
=
+[(k+1)2+(k+1)]k(k+1)(k+2) 3
=
…(8分)(k+1)[k(k+2)+3(k+1)+3] 3
=(k+1)(k2+5k+6) 3
=(k+1)(k+2)(k+3) 3
=
…(10分)(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2] 3
所以当n=k+1时,命题成立.
综合(1)(2)得:对于一切n∈N*,
都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=
…(12分)n(n+1)(n+2) 3