自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0，不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。
解：（Ⅰ）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，
死亡量为
，
因此，
，
即
。
（Ⅱ）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，
从而由（*）式，得
恒大于0，n∈N*，
所以，
，
即
，
因为x1>0，所以a＞b，
猜测：当且仅当a＞b，且
时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn＞0，n∈N*， 由xn+1=xn(3-b-xn)， n∈N*，
知0＜xn＜3-b，n∈N*，
特别地，有0＜x1＜3-b，即0＜b＜3-x1，
而x1∈(0， 2)，所以b∈(0，1]， 由此猜测b的最大允许值是1。
下证：当x1∈(0， 2) ，b=1时，都有xn∈(0， 2)， n∈N*，
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0， 2)，则当n=k+1时，xk+1=xk(2-xk)＞0，
又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1＜2，
所以xk+1∈(0， 2)，故当n=k+1时结论也成立；
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0，2)，
综上所述，为保证对任意x1∈(0， 2)， 都有xn＞0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1。