问题
解答题
已知数列{an}，a1=1，且满足关系an-an-1=2（n≥2），
（1）写出a2，a3，a4，的值，并猜想{an}的一个通项公式．
（2）利用数学归纳法证明你的结论．
答案
（1）∵a1=1，an-an-1=2（n≥2），
∴a2=2+a1=3，同理可求得a3=5，a4=7，故可猜想得到an=2n-1． …（4分）
（2）证明：①当n=1时，结论显然成立； …（6分）
②设当n=k（k≥2）时，结论成立，即ak=2k-1，
则当n=k+1时，ak+1-ak=2，…（8分）
所以ak+1=ak+2=2k-1+2=2（k+1）-1，也满足公式． …（10分）
综①②知，命题an=2n-1对任意的正整数n恒成立． …（12分）
