假设存在a、b、c使1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2¹+1²=an（bn²+c）对于一切n∈N*都成立．

当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19．

解方程组

a(b+c)=1 a(4b+c)=3 3a(9b+c)=19

，解得

a= 1 3 b=2c c≠0

证明如下：

①当n=1时，由以上知存在常数a、b、c使等式成立．

②假设n=k（k∈N*）时等式成立，

即1²+2²+3²+…k²+（k-1）²+…2¹+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k(2k2+1)；

当n=k+1时，1²+2²+3²+…（k+1）²+k²+…2¹+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k(2k2+1)+（k+1）²+k²=

1

3

(k+1)[2(k+1)2+1]；

即n=k+1时，等式成立．

因此存在a=

1

3c

，b=2c，c≠0常数，使等式对一切n∈N*都成立．