证明：①当n=1时，左边=2，右边=

1

3

×1×2×3=2，等式成立；

②假设当n=k时，等式成立，

即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=

1

3

k(k+1)(k+2)

则当n=k+1时，

左边=

1

3

k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=（k+1）（k+2）（

1

3

k+1）=

1

3

（k+1）（k+2）（k+3）

即n=k+1时，等式也成立．

所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)对任意正整数都成立．