问题
解答题
已知数列{an}满足a1=3，a n+1=2a n+1，
（1）求a2，a3，a4；
（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
答案
解：（1）分别令n取1，2，3 得到
a2=2×3+1=7， a3=2×7+1=15， a4=2×15+1=31．
（2）猜想an=2 n+1﹣1，
证明：①当n=1时，a1=22﹣1=3，故命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即an=2 n+1﹣1，
则当n=k+1时，a k+1=2a k+1=2（2 n+1﹣1）+1=2（n+1）+1﹣1，故命题也成立．
综上，对一切n∈N+都有an=2 n+1﹣1成立．