证明：因为S_n=1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²，即要证明

1²+2²+3²+…+n²+…+3²+2²+1²=

n(2n2+1)

3

，（A）

（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=

1?3

3

=1，故（A）式成立

（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即

1²+2²+3²+…+k²+…+3²+2²+1²=

k(2k2+1)

3

现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）²+k²，得

1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+…+3²+2²+1²=

k(2k2+1)

3

+（k+1）²+k²，

=

2k3+k+3(k+1)2+3k2

3

=

k(2k+1)(k+1)+3(k+1)2

3

=

(k+1)(2k2+4k+3)

3

=

(k+1)[2(k+1)2+1]

3

．

即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），

（A）式对所有的正整数n都成立，即证得Sn=

n(2n2+1)

3