①∵a₁=1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，

∴a₂=1+

1

2

=

3

2

；

a₃=a₂+

1

2×3

=

3

2

+

1

2×3

=

10

6

=

5

3

；

a₄=a₃+

1

3×4

=

5

3

+

1

3×4

=

7

4

；

a₅=a₄+

1

4×5

=

7

4

+

1

4×5

=

9

5

；

②由①归纳知，a_n=

2n-1

n

；

③证明：（1）当n=1时，a₁=1，等式成立；

（2）假设n=k时，a_k=

2k-1

k

，

则当n=k+1时，

a_k+1=a_k+

1

k(k+1)

=

2k-1

k

+

1

k(k+1)

=

1

k

（2k-1+

1

k+1

）

=

1

k

•

(2k-1)(k+1)+1

k+1

=

1

k

•

k(2k+1)

k+1

=

2k+1

k+1

=

2(k+1)-1

k+1

．

即n=k+1时，等式也成立．

综上所述，对任意n∈N^*，a_n=

2n-1

n

均成立．