设数列{an}满足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，

问题解答题

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，

（1）求a₂，a₃，a₄；

（2）猜想出{a_n}的一个通项公式并证明你的结论．

答案

（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3

由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4

由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5

（1）用数学归纳法证明

①由a₁=2=1+1知n=1时，a_n=n+1成立

设n=k（k属于正整数）时a_n=n+1成立，即a_k=k+1

则当n=k+1时，因为a_n+1=a_n²-na_n+1，

所以a_k+1=a_k²-k（k+1）+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k²+2k+1-k²-k+1=k+2

综上，a_n=n+1成立