问题
解答题
已知数列{an}的前n和为Sn，其中an=
（1）求a2，a3； （2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． |
答案
（1）a2=
=S2 2(2×2-1) a1+a2 6
又a1=
，则a2=1 3
，类似地求得a3=1 15 1 35
（2）由a1=
，a2=1 1×3
，a3=1 3×5
…1 5×7
猜得：an=1 (2n-1)(2n+1)
以数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由（1）可知等式成立；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=1 (2k-1)(2k+1)
那么，当n=k+1时，由题设an=
得ak=Sn n(2n-1)
，ak+1=Sk k(2k-1) Sk+1 (k+1)(2k+1)
所以Sk=k（2k-1）ak=k（2k-1）
=1 (2k-1)(2k+1) k 2k+1
Sk+1=（k+1）（2k+1）ak+1ak+1=SK+1-SK=（k+1）（2k+1）ak+1-k 2k+1
因此，k(2k+3)ak+1=k 2k+1
所以ak+1=
=1 (2k+1)(2k+3) 1 [2(k+1)-1][2(k+1)+1]
这就证明了当n=k+1时命题成立．
由①、②可知命题对任何n∈N*都成立．