已知数列{an}前n项的和为Sn，且满足an=n2(n∈N*)．（Ⅰ）求s1、s

问题解答题

已知数列{a_n}前n项的和为S_n，且满足an=n2 (n∈N*)．
（Ⅰ）求s₁、s₂、s₃的值；
（Ⅱ）用数学归纳法证明sn=

n(n+1)(2n+1)

(n∈N*)．

答案

（Ⅰ）∵a_n=n²，n∈N^*

∴s₁=a₁=1，s₂=a₁+a₂=1+4=5，s₃=a₁+a₂+a₃=1+4+9=14．…（6分）

（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=s₁=1，

右边=

1×(1+1)(2+1)

=1，

所以等式成立．…（8分）

（2）假设n=k（k∈N^*）时结论成立，即S_k=

k(k+1)(2k+1)

，…（10分）

那么，S_k+1=S_k+（k+1）²

k(k+1)(2k+1)

+（k+1）²

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2

(k+1)(k+2)(2k+3)

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

即n=k+1时，等式也成立．…（13分）

根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N^*都成立．…（14分）