证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=

(1+1)(2+1)

6

=1，即原式成立（2分）

（2）假设当n=k时，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

（6分）

当n=k+1时，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

（10分）

即原式成立

根据（1）和（2）可知等式对任意正整数n都成立

∴1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

（12分）