问题
解答题
已知数列
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答案
观察分析题设条件可知Sn=
(n∈N)(2n+1)2-1 (2n+1)2
证明如下：（1）当n=1时，S1=
=32-1 32
，等式成立．8 9
（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即Sk=
.则Sk+1=Sk+(2k+1)2-1 (2k+1)2
=8(k+1) (2k+1)2(2k+3)2
+(2k+1)2-1 (2k+1)2
=8(k+1) (2k+1)2(2k+3)2
=[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1) (2k+1)2(2k+3)2
=(2k+1)2(2k+3)2-(2k+3)2+8(k+1) (2k+1)2(2k+3)2
=(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2 (2k+1)2(2k+3)2
=(2k+3)2-1 (2k+3)2 [2(k+1)+1]2-1 [2(k+1)+1]2
由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立