问题
解答题
在数列{an}中，a1=3，an+1=3an-4n，n=1，2，3，…
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{an}项公式，并用数学归纳法加以证明．
答案
（本小题满分9分）
（Ⅰ）由已知a1=3，an+1=3an-4n，
可得，n=1时，a2=9-4=5；n=2时，a3=15-8=7；
n=3时，a4=21-12=9．…（3分）
（Ⅱ）猜想 an=2n+1．…（4分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=3，右边=2×1+1=3，猜想成立．
…（6分）
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=2k+1．…（7分）
则n=k+1时，ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2k+=2（k+1）+1．
所以 当n=k+1时，猜想也成立．
根据 ①和 ②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（9分）